FUNCIONES VECTORIALES

viernes, 20 de febrero de 2015

Tecnicas para calcular limites.

Algunas técnicas para calcular límites(de campos escalares).

Como hemos observado si sabemos calcular límites de campos escalares podemos calcular todos los tipos de límites que pueden aparecer al trabajar con funciones de varias variables. Veamos algunas técnicas que podemos usar. Todas ellas estan basadas de una u otra forma en las que conocemos para funciones de una variable. La principal diferencia está en el hecho de que con varias variables tenemos muchas formas de acercarnos a un punto, mientras que con una bastaba saber lo que pasaba a derecha e izquierda.

Para ilustrar como podemos utilizar técnicas de una variable recordemos que una función

tiene límite

cuando

tiende a

si y solo si para cualquier sucesión

(de puntos del dominio de

) que tiende a

se verifica que la sucesión de sus imágenes,

, tiende a

$\begin{displaymath}\lim_{x\to a}f(x)=l\iff \forall x_n \to a \Rightarrow f(x_n)\to l\end{displaymath}$

Esto nos permite decir por ejemplo que la función seno no tiene límite en infinito, esto es, no existe $\lim_{x\to \infty} \mbox{ sen }x$ , ya que podemos encontrar sucesiones

que tienden a $\infty$ y tales que sus imágenes tienen límites distintos.

Por ejemplo

$\begin{displaymath}x_0=0, x_1=2\pi , x_2=4\pi , x_3=6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}y_0=\frac{\pi}{2}, y_1=\frac{\pi}{2}+2\pi , y_2=\frac{\pi}{2}+4\pi , y_3=\frac{\pi}{2}+6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\mbox{ sen }(x_n)=0\Rightarrow \mbox{ sen }(x_n)\to 0 , \quad \mbox{ sen }(y_n)=1\Rightarrow sen (y_n)\to 1\end{displaymath}$

Pues bien el mismo resultado sigue siendo cierto para campos escalares solo que ahora la sucesión es de vectores de $\mathbb{R}^n$ . Si nos fijamos en el campo escalar

$\begin{displaymath}f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}$

nos podríamos preguntar por el límite de

en el punto

$\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}$

Si consideramos sucesiones genéricas de vectores $(x_n,y_n)\to (1,2)$ esto es equivalente a considerar sucesiones $x_n\to 1$ , $y_n\to 2$ Entonces aplicando propiedades de límites de sucesiones

$\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\frac{1\cdot 2^2}{1^2+2^2}=\frac{4}{5}\end{displaymath}$

Es claro que la misma idea sirve para cualquier punto

, que no sea conflictivo ya que la simple sustitución nos da el valor del límite (es decir la función es continua en esos puntos)

$\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (a,b)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\frac{ab^2}{a^2+b^2}\end{displaymath}$

Pero ¿qué pasa en el punto conflictivo? En este caso el punto conflictivo es

. No podemos sustituir simplemente porque la función no está definida en ese punto.

Si tratamos de hacer igual que antes nos encontramos con una indeterminacion del tipo

. Sean sucesiones genéricas $x_n\to 0$ , $y_n\to 0$

$\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\mbox{?}\end{displaymath}$

Si podemos resolver la indeterminación encontraríamos el límite. Si por el contrario podemos encontrar dos sucesiones de vectores

tendiendo a

y tales que las imágenes por

de alguna de ellas no tenga límite, o bien que

tengan límites distintos, entonces no existiría el limite en

¿Qué pasa en este caso?

FUNCIONES VECTORIALES, LIMITES.

Funciones vectoriales,

anteriormente has trabajado con funciones cuyo dominio y cuyo codominio eran ambos conjuntos de numeros reales. ahora que conoces los vectores, nos proponemos investigar un nuevo tipo de funciones cuyo dominio esta formado por numeros reales pero cuyo codominio esta formado por vectores.

Estass funciones que llamaremos FUNCIONES CON VAORES VECTORIALES o mas simple FUNCIONES VECTORIALES tienen muchas aplicaciones. una de las mas importantes se refiere al estudio del movimiento de un cuerpo en el espacio, en esfecto, un modo conveniente de ddescribir un movimiento de este tipo es a traves de una funcion vectorial cuyo dominio es un intervalo representa al tiempo y cuyo valor para cualquier tiempo t es la posicion del cuerpo en el espacio.

Límites de funciones de varias variables.

En este apartado se estudia el concepto de límite de una función devarias variables y algunas de las técnicas utilizadas en su cálculo. Después, basándose en este concepto, se establece la definición de función continua y cómo estudiar la continuidad de una función de varias variables. En principio se comienza con campos escalares y después se extiende la definición a los campos vectoriales.

FUNCIONES VECTORIALES

domingo, 22 de febrero de 2015

El Flujo de un Campo Vectorial

Ejemplo del Flujo de un Campo Vectorial

Introducción al Campo Vectorial

viernes, 20 de febrero de 2015

Tecnicas para calcular limites.

FUNCIONES VECTORIALES, LIMITES.

jueves, 19 de febrero de 2015

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL EJERCICIO RESUELTO

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL CONCEPTO