teorema de green

el teorema de Green da la relación entre una integral de linea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble  sobre la región plana D limitada por C.El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales  continuas en una región abierta que contiene D,

A veces la notación

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (anti horaria) de la curva cerrada C. 

Demostración. Probemos el teorema para el caso en el que S es tanto x-simple como y-simple y discutiremos después las ampliaciones al caso general. Puesto que S es y-simple, tiene la forma de la figura 1; es decir,

S = {(x, y): g(x) ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b}

figura 1

Su frontera C consta de cuatro arcos C1, C2, C3, y C4 (C2 o C4 pueden ser degenerados)

M dx = ∫C1 M dx + ∫C2 M dx + ∫C3 M dx + ∫C4 M dx

Las integrales sobre C1 y C4 son cero, puesto que sobre estas curvas x es constante, por lo que dx = 0. En consecuencia,

M dx = ∫ M (x, g(x)) dx + ∫ M (x, f(x)) dx

= -∫ [M (x, f(x)) - M (x, g(x))] dx

= - ∫ ∫ ∂M(x, y) dy dx

∂y

= - ∫ ∫ ∂M dA

∂y

El teorema de Green se cumple aún para regiones S que tengan uno o más hoyos (figura 2), siempre que cada parte de la frontera esté orientada de modo que S quede siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su dirección positiva. Basta con descomponerla en regiones ordinarias, en la forma como se muestra en la figura 3.

figura 2                                                figura 3.