miércoles, 4 de febrero de 2015

Integral Curvilínea en un campo vectorial

INTEGRAL CURVILÍNEA
Una técnica común en la física es integrar un campo vectorial a lo largo de una curva. Dado una partícula en un campo vectorial gravitacional, donde cada vector representa la fuerza que actúa en la partícula en ese punto del espacio, la integral curvilínea es el trabajo hecho sobre la partícula cuando viaja a lo largo de cierta trayectoria.
La integral curvilínea se construye análogamente a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene longitud finita) y el campo vectorial es continuo.
Dado un campo vectorial F(x) y una curva γ(t) de a a b se define la integral curvilínea como
\int_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \int_a^b \langle \mathbf{F}( \mathbf{\gamma}(t) ), \mathbf{\gamma}'(t) \rangle dt
Algunas reglas simples para el cálculo de los integrales curvilíneas son

\int_\gamma \langle (\mathbf{F} + \mathbf{G})( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \int_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle + \int_\gamma \langle \mathbf{G}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle

\int_\gamma \langle \alpha \cdot \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \alpha \cdot \int_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle

\int_{-\gamma} \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = -\int_\gamma \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle
\int_{\gamma_1 + \gamma_2} \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle = \int_{\gamma_1} \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle + \int_{\gamma_2} \langle \mathbf{F}( \mathbf{x} ), d\mathbf{x} \rangle
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