FUNCIONES VECTORIALES: Teorema De La Divergencia o teorema de Gauss

sábado, 14 de febrero de 2015

Teorema De La Divergencia o teorema de Gauss

Sean $H\,$ y $U\,$ dos subconjuntos abiertos en $\mathbb{R}^3$ donde $U\subset H$ es simplemente contexto y el borde de $U\,$ , $S=\part U\,$ es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

Sea $\mathbf F : H\to \mathbb{R}^3$ , un campo vectorial de clase $C^1\,$ , es decir, $\mathbf {F}$ cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.

Entonces:

$\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot \vec{\mathbf{n}} \, dS} = \iiint_{U}{\nabla\cdot\mathbf{F}\;dV}$

donde el vector $\vec\mathbf n\,$ normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen V.

En otras palabras, el flujo de F a través de la frontera de una región cerrada de tres dimensiones es la integral triple de su divergencia sobre esa región. Resulta útil tanto para algunas aplicaciones como para demostración de la conclusión del teorema de Gauss en su forma cartesiana (no vectorial). Podemos escribir

n = cos αi + cosβj + cosγk

donde α, β y γ son los αngulos directores de n. y entonces la fσrmula de Gauss se transforma en

Demostración del teorema de Gauss.
Consideremos primero el caso en el que la región S es x-simple, g-simple y z-simple. Bastará con demostrar que

Ejemplo .
Sea S el sólido cilíndrico limitado por x2 + y2 = 4, z = 0 y z = 3, y sea n la normal unitaria exterior a la frontera ∂S (figura 4). Si F = (x3 + tan yz)i + (y3 – exz)j + (3z + x3)k, encuentra el flujo de F a través de ∂S.

Figura 4

Solución.
Imagine las dificultades al tratar de evaluar en forma directa ∫∫ F . n Ds. No obstante,
div F = 3x2 + 3y2 + 3 = 3 (x2 + y2 + 1)
y por lo tanto, por el teorema de Gauss y el cambio de coordenadas cilíndricas,

ejemplo #2

Calcular el flujo del campo vectorial $\mathbf F(x,y,z)=x\mathbf i+y\mathbf j+z\mathbf k$ a través de la superficie esférica $x^{\,\!2} + y^{\,\!2} + z^{\,\!2} = 4$

Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es $R \,=2$ . Entonces:

$\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial f_1 \;}{\partial x \;} + \frac{\partial f_2 \;}{\partial y \;} + \frac{\partial f_3 \;}{\partial z \;}= 1 + 1 + 1 = 3$

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:

$\iint_{S} \mathbf F \cdot \mathbf n \ dS = \iiint_{V} \boldsymbol\nabla\cdot\mathbf F \ dV = \iiint_{V} 3\,\ dV = 3\,\iiint_{V} \ dV = 3V = 3 \times \frac{4}{3} \pi \times 2^3 = 32\, \pi$

1 comentario:

Cal3Grupo #215 de febrero de 2015, 9:15
bueno aun nose como hacer una integral triple, aunque no se ve complicado pero si algo confuso xD
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