viernes, 20 de febrero de 2015

Tecnicas para calcular limites.


 
Como hemos observado si sabemos calcular límites de campos escalares podemos calcular todos los tipos de límites que pueden aparecer al trabajar con funciones de varias variables. Veamos algunas técnicas que podemos usar. Todas ellas estan basadas de una u otra forma en las que conocemos para funciones de una variable. La principal diferencia está en el hecho de que con varias variables tenemos muchas formas de acercarnos a un punto, mientras que con una bastaba saber lo que pasaba a derecha e izquierda.
Para ilustrar como podemos utilizar técnicas de una variable recordemos que una función $f$ tiene límite $l$ cuando $x$ tiende a $a$ si y solo si para cualquier sucesión $x_n$ (de puntos del dominio de $f$) que tiende a $a$ se verifica que la sucesión de sus imágenes, $f(x_n)$, tiende a $l$.
\begin{displaymath}\lim_{x\to a}f(x)=l\iff \forall x_n \to a \Rightarrow f(x_n)\to l\end{displaymath}

 Esto nos permite decir por ejemplo que la función seno no tiene límite en infinito, esto es, no existe ${\displaystyle \lim_{x\to \infty} \mbox{ sen }x }$, ya que podemos encontrar sucesiones $x_n$, $y_n$ que tienden a $\infty$ y tales que sus imágenes tienen límites distintos. 
Por ejemplo
\begin{displaymath}x_0=0, x_1=2\pi , x_2=4\pi , x_3=6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}
\begin{displaymath}y_0=\frac{\pi}{2}, y_1=\frac{\pi}{2}+2\pi , y_2=\frac{\pi}{2}+4\pi , y_3=\frac{\pi}{2}+6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}
\begin{displaymath}\mbox{ sen }(x_n)=0\Rightarrow \mbox{ sen }(x_n)\to 0 , \quad \mbox{ sen }(y_n)=1\Rightarrow sen (y_n)\to 1\end{displaymath}
Pues bien el mismo resultado sigue siendo cierto para campos escalares solo que ahora la sucesión es de vectores de $\mathbb{R}^n$. Si nos fijamos en el campo escalar
\begin{displaymath}f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}
nos podríamos preguntar por el límite de $f$ en el punto $(1,2)$
\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}
Si consideramos sucesiones genéricas de vectores $(x_n,y_n)\to (1,2)$ esto es equivalente a considerar sucesiones $x_n\to 1$, $y_n\to 2$ Entonces aplicando propiedades de límites de sucesiones
\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\frac{1\cdot 2^2}{1^2+2^2}=\frac{4}{5}\end{displaymath}
Es claro que la misma idea sirve para cualquier punto $(a,b)$, que no sea conflictivo ya que la simple sustitución nos da el valor del límite (es decir la función es continua en esos puntos)
\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (a,b)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\frac{ab^2}{a^2+b^2}\end{displaymath}
Pero ¿qué pasa en el punto conflictivo? En este caso el punto conflictivo es $(0,0)$. No podemos sustituir simplemente porque la función no está definida en ese punto.
Si tratamos de hacer igual que antes nos encontramos con una indeterminacion del tipo $(0/0)$. Sean sucesiones genéricas $x_n\to 0$, $y_n\to 0$
\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\mbox{?}\end{displaymath}

Si podemos resolver la indeterminación encontraríamos el límite. Si por el contrario podemos encontrar dos sucesiones de vectores $(x_n,y_n)$, $(z_n, t_n)$ tendiendo a $(0,0)$ y tales que las imágenes por $f$ de alguna de ellas no tenga límite, o bien que $f(x_n,y_n)$ y $f(z_n, t_n)$ tengan límites distintos, entonces no existiría el limite en $(x,y)=(0,0)$ de $f$. 

¿Qué pasa en este caso?
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