Ejemplo de Operador Vectorial

bemos que un operador es autoadjunto cuando se verifica:

x⋅f(y)=f(x)⋅y

Tenemos entonces:

x⋅(T+T∗))(y)=x[T(y)+T∗(y)]=x⋅T(y)+x⋅T∗(y)

Pero sabemos por teoría que todo operador lineal definido en un espacio vectorial finito admite adjunto y que ambos se representan por matrices adjuntas. Tenemos entonces:

x⋅T(y)+x⋅T∗(y)=T∗(x)⋅y+T(x)⋅y=(T∗+T)(x)⋅y;∀x,y∈E

Análogamente, podemos hacer:

x(T−T∗)(y)=x[T(y)−T∗(y)]=x⋅T(y)−x⋅T∗(y)=

T∗(x)⋅y−T(x)⋅y=(T∗−T)(x)⋅y=−(T−T∗)(x)⋅y;∀x,y∈E

Y queda demostrado lo propuesto.