FUNCIONES VECTORIALES: 2015

viernes, 20 de febrero de 2015

Tecnicas para calcular limites.

Algunas técnicas para calcular límites(de campos escalares).

Como hemos observado si sabemos calcular límites de campos escalares podemos calcular todos los tipos de límites que pueden aparecer al trabajar con funciones de varias variables. Veamos algunas técnicas que podemos usar. Todas ellas estan basadas de una u otra forma en las que conocemos para funciones de una variable. La principal diferencia está en el hecho de que con varias variables tenemos muchas formas de acercarnos a un punto, mientras que con una bastaba saber lo que pasaba a derecha e izquierda.

Para ilustrar como podemos utilizar técnicas de una variable recordemos que una función

tiene límite

cuando

tiende a

si y solo si para cualquier sucesión

(de puntos del dominio de

) que tiende a

se verifica que la sucesión de sus imágenes,

, tiende a

$\begin{displaymath}\lim_{x\to a}f(x)=l\iff \forall x_n \to a \Rightarrow f(x_n)\to l\end{displaymath}$

Esto nos permite decir por ejemplo que la función seno no tiene límite en infinito, esto es, no existe $\lim_{x\to \infty} \mbox{ sen }x$ , ya que podemos encontrar sucesiones

que tienden a $\infty$ y tales que sus imágenes tienen límites distintos.

Por ejemplo

$\begin{displaymath}x_0=0, x_1=2\pi , x_2=4\pi , x_3=6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}y_0=\frac{\pi}{2}, y_1=\frac{\pi}{2}+2\pi , y_2=\frac{\pi}{2}+4\pi , y_3=\frac{\pi}{2}+6\pi ,\cdots \to \infty\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\mbox{ sen }(x_n)=0\Rightarrow \mbox{ sen }(x_n)\to 0 , \quad \mbox{ sen }(y_n)=1\Rightarrow sen (y_n)\to 1\end{displaymath}$

Pues bien el mismo resultado sigue siendo cierto para campos escalares solo que ahora la sucesión es de vectores de $\mathbb{R}^n$ . Si nos fijamos en el campo escalar

$\begin{displaymath}f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}$

nos podríamos preguntar por el límite de

en el punto

$\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{displaymath}$

Si consideramos sucesiones genéricas de vectores $(x_n,y_n)\to (1,2)$ esto es equivalente a considerar sucesiones $x_n\to 1$ , $y_n\to 2$ Entonces aplicando propiedades de límites de sucesiones

$\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (1,2)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\frac{1\cdot 2^2}{1^2+2^2}=\frac{4}{5}\end{displaymath}$

Es claro que la misma idea sirve para cualquier punto

, que no sea conflictivo ya que la simple sustitución nos da el valor del límite (es decir la función es continua en esos puntos)

$\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (a,b)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\frac{ab^2}{a^2+b^2}\end{displaymath}$

Pero ¿qué pasa en el punto conflictivo? En este caso el punto conflictivo es

. No podemos sustituir simplemente porque la función no está definida en ese punto.

Si tratamos de hacer igual que antes nos encontramos con una indeterminacion del tipo

. Sean sucesiones genéricas $x_n\to 0$ , $y_n\to 0$

$\begin{displaymath}\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\frac{x_n{y_n}^2}{{x_n}^2+{y^2}_n}=\mbox{?}\end{displaymath}$

Si podemos resolver la indeterminación encontraríamos el límite. Si por el contrario podemos encontrar dos sucesiones de vectores

tendiendo a

y tales que las imágenes por

de alguna de ellas no tenga límite, o bien que

tengan límites distintos, entonces no existiría el limite en

¿Qué pasa en este caso?

FUNCIONES VECTORIALES, LIMITES.

Funciones vectoriales,

anteriormente has trabajado con funciones cuyo dominio y cuyo codominio eran ambos conjuntos de numeros reales. ahora que conoces los vectores, nos proponemos investigar un nuevo tipo de funciones cuyo dominio esta formado por numeros reales pero cuyo codominio esta formado por vectores.

Estass funciones que llamaremos FUNCIONES CON VAORES VECTORIALES o mas simple FUNCIONES VECTORIALES tienen muchas aplicaciones. una de las mas importantes se refiere al estudio del movimiento de un cuerpo en el espacio, en esfecto, un modo conveniente de ddescribir un movimiento de este tipo es a traves de una funcion vectorial cuyo dominio es un intervalo representa al tiempo y cuyo valor para cualquier tiempo t es la posicion del cuerpo en el espacio.

Límites de funciones de varias variables.

En este apartado se estudia el concepto de límite de una función devarias variables y algunas de las técnicas utilizadas en su cálculo. Después, basándose en este concepto, se establece la definición de función continua y cómo estudiar la continuidad de una función de varias variables. En principio se comienza con campos escalares y después se extiende la definición a los campos vectoriales.

jueves, 19 de febrero de 2015

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL EJERCICIO RESUELTO

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL CONCEPTO

https://www.youtube.com/watch?v=fYMKkcqY7f0

Función vectorial de una variable real

Definición de función vectorial de una variable real

Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es,de la ecuación anterior está claro que el rango de tal función es R3 o Rm.

La interpretación de esta oración sería que la función está asociada con tres o más funciones de variables reales f1, f2,f3 … fm. Por tanto, se puede escribir de tal manera que,una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus componentes constitutivos. Por ejemplo, si el rango es de dos dimensiones entonces el rango se puede dividir en sus componentes como,y si el rango es de tres dimensiones, entonces puede ser dividida en sus componentes como,un punto digno de mención es que el dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de todas las funciones constituyentes que en su totalidad forman el rango de la función vectorial.

Después de haber leído la definición de una función valorada vectorial, es importante saber, ¿por qué surgió la necesidad de desarrollar funciones vectoriales cuando ya teníamos otras funciones con nosotros? Una función vectorial representa principalmente una función que varía con respecto al tiempo.

Tomemos el ejemplo de una abeja. La trayectoria que esta traza mientras vuela puede ser descrita en términos de variables de x e y en un espacio tridimensional, pero esta no nos proveería ninguna información con respecto al tiempo de vuelo. En otras palabras, tal función solo nos daría información sobre el camino recorrido por la abeja.

Así que imaginemos que la abeja comenzó su vuelo en la posición r1. Por tanto el vector de posición que describe la posición de inicio de la abeja puede ser representado como,

Ahora, después de un tiempo esta abeja se detiene en la posición r2 sobre el plano x-y. En consecuencia, podemos utilizar otro vector para representar la posición final de la abeja como,

Entonces, el camino recorrido por esta abeja sería una serie de vectores que comienzan en r1 y terminan en r2. Estos vectores son los vectores de posición, que representan sólo la punta de la flecha del vector en el diagrama anterior. Y a medida que pasa el tiempo, los vectores cambian de r1 a r2.

Aquí los vectoresr1 y r2 son iguales, de hecho el vector r1cambia con el tiempo para tomar la posición de r2. Es por esto que una función vectorial puede ser escrita como,

Es decir, todos los componentes de la presente función son funciones del tiempo, dado que varían con el tiempo.

Utilizando coordenadas cartesianas, una función vectorial
A
( t ) es un vector dependiente de la variable escalar t y definido en el espacio x,y, z, o sea:
A ( t ) = Ax ( t ) i + Ay ( t ) j + Az ( t ) k

Por lo tanto todos los conceptos y definiciones de las funciones ordinarias son aplicables a las funciones vectoriales haciéndolo a cada una de las componentes del vector.

miércoles, 18 de febrero de 2015

Midiendo el espacio-tiempo curvo

Gauss había mostrado que pueden existir otras geometrías no-euclídeas, lo cual sugería que la geometría real del espacio no tenía por qué ser euclídea. Si la geometría del espacio no fuera euclídea habría ciertas consecuencias medibles, por ejemplo, si un físico pone una marca, y un cartógrafo permanece a una cierta distancia y se mide su longitud por triangulación basada en la geometría euclídea, entonces no está garantizado que sea dada la misma respuesta si el físico porta la marca consigo y mide su longitud directamente.

Por supuesto, para una marca no podría medirse en la práctica la diferencia entre las dos medidas, pero existen medidas equivalentes que deben detectar la geometría no euclidiana del espacio-tiempo directamente, por ejemplo el experimento de Pound-Rebka (1959) detectó el cambio en la longitud de onda de la luz de una fuente de cobalto surgiendo por 22.5 metros contra la gravedad en un local del Laboratorio de Física Jefferson en la Universidad de Harvard, y la cadencia de un reloj atómico en un satélite GPS alrededor de la Tierra tiene que ser corregida por efecto de la gravedad.

Curva del Espacio-Tiempo

La curvatura del espacio-tiempo es una de las principales consecuencias de la teoría de la relatividad general de acuerdo con la cual la gravedad es efecto o consecuencia de la geometría curva del espacio-tiempo. Los cuerpos dentro de un campo gravitatorio siguen una trayectoria espacial curva, aún cuando en realidad pueden estar moviéndose según líneas de universo lo más "rectas" posibles a través un espacio-tiempo curvado. Las líneas más "rectas" o que unen dos puntos con la longitud más corta posible en determinado espacio-tiempo se llaman líneas geodésicas y son líneas de curvatura mínima

Relatividad General - Curva del EspacioTiempo

lunes, 16 de febrero de 2015

Ejemplo de Rotacional Vectorial

Ejemplo de Operador Vectorial

bemos que un operador es autoadjunto cuando se verifica:

x⋅f(y)=f(x)⋅y

Tenemos entonces:

x⋅(T+T∗))(y)=x[T(y)+T∗(y)]=x⋅T(y)+x⋅T∗(y)

Pero sabemos por teoría que todo operador lineal definido en un espacio vectorial finito admite adjunto y que ambos se representan por matrices adjuntas. Tenemos entonces:

x⋅T(y)+x⋅T∗(y)=T∗(x)⋅y+T(x)⋅y=(T∗+T)(x)⋅y;∀x,y∈E

Análogamente, podemos hacer:

x(T−T∗)(y)=x[T(y)−T∗(y)]=x⋅T(y)−x⋅T∗(y)=

T∗(x)⋅y−T(x)⋅y=(T∗−T)(x)⋅y=−(T−T∗)(x)⋅y;∀x,y∈E

Y queda demostrado lo propuesto.

sábado, 14 de febrero de 2015

Teorema De La Divergencia o teorema de Gauss

Sean $H\,$ y $U\,$ dos subconjuntos abiertos en $\mathbb{R}^3$ donde $U\subset H$ es simplemente contexto y el borde de $U\,$ , $S=\part U\,$ es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

Sea $\mathbf F : H\to \mathbb{R}^3$ , un campo vectorial de clase $C^1\,$ , es decir, $\mathbf {F}$ cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.

Entonces:

$\iint_{S}{\mathbf{F}\cdot \vec{\mathbf{n}} \, dS} = \iiint_{U}{\nabla\cdot\mathbf{F}\;dV}$

donde el vector $\vec\mathbf n\,$ normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen V.

En otras palabras, el flujo de F a través de la frontera de una región cerrada de tres dimensiones es la integral triple de su divergencia sobre esa región. Resulta útil tanto para algunas aplicaciones como para demostración de la conclusión del teorema de Gauss en su forma cartesiana (no vectorial). Podemos escribir

n = cos αi + cosβj + cosγk

donde α, β y γ son los αngulos directores de n. y entonces la fσrmula de Gauss se transforma en

Demostración del teorema de Gauss.
Consideremos primero el caso en el que la región S es x-simple, g-simple y z-simple. Bastará con demostrar que

Ejemplo .
Sea S el sólido cilíndrico limitado por x2 + y2 = 4, z = 0 y z = 3, y sea n la normal unitaria exterior a la frontera ∂S (figura 4). Si F = (x3 + tan yz)i + (y3 – exz)j + (3z + x3)k, encuentra el flujo de F a través de ∂S.

Figura 4

Solución.
Imagine las dificultades al tratar de evaluar en forma directa ∫∫ F . n Ds. No obstante,
div F = 3x2 + 3y2 + 3 = 3 (x2 + y2 + 1)
y por lo tanto, por el teorema de Gauss y el cambio de coordenadas cilíndricas,

ejemplo #2

Calcular el flujo del campo vectorial $\mathbf F(x,y,z)=x\mathbf i+y\mathbf j+z\mathbf k$ a través de la superficie esférica $x^{\,\!2} + y^{\,\!2} + z^{\,\!2} = 4$

Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es $R \,=2$ . Entonces:

$\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial f_1 \;}{\partial x \;} + \frac{\partial f_2 \;}{\partial y \;} + \frac{\partial f_3 \;}{\partial z \;}= 1 + 1 + 1 = 3$

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:

$\iint_{S} \mathbf F \cdot \mathbf n \ dS = \iiint_{V} \boldsymbol\nabla\cdot\mathbf F \ dV = \iiint_{V} 3\,\ dV = 3\,\iiint_{V} \ dV = 3V = 3 \times \frac{4}{3} \pi \times 2^3 = 32\, \pi$

FUNCIONES VECTORIALES

domingo, 22 de febrero de 2015

El Flujo de un Campo Vectorial

Ejemplo del Flujo de un Campo Vectorial

Introducción al Campo Vectorial