explicación del teorema de green

teorema de green

el teorema de Green da la relación entre una integral de linea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble  sobre la región plana D limitada por C.El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales  continuas en una región abierta que contiene D,

A veces la notación

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (anti horaria) de la curva cerrada C. 

Demostración. Probemos el teorema para el caso en el que S es tanto x-simple como y-simple y discutiremos después las ampliaciones al caso general. Puesto que S es y-simple, tiene la forma de la figura 1; es decir,

S = {(x, y): g(x) ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b}

figura 1

Su frontera C consta de cuatro arcos C1, C2, C3, y C4 (C2 o C4 pueden ser degenerados)

M dx = ∫C1 M dx + ∫C2 M dx + ∫C3 M dx + ∫C4 M dx

Las integrales sobre C1 y C4 son cero, puesto que sobre estas curvas x es constante, por lo que dx = 0. En consecuencia,

M dx = ∫ M (x, g(x)) dx + ∫ M (x, f(x)) dx

= -∫ [M (x, f(x)) - M (x, g(x))] dx

= - ∫ ∫ ∂M(x, y) dy dx

∂y

= - ∫ ∫ ∂M dA

∂y

El teorema de Green se cumple aún para regiones S que tengan uno o más hoyos (figura 2), siempre que cada parte de la frontera esté orientada de modo que S quede siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su dirección positiva. Basta con descomponerla en regiones ordinarias, en la forma como se muestra en la figura 3.

figura 2                                                figura 3.

Integral de una Superficie de un campo vectorial

 

 

Integral de superficie de un campo vectorial

 

 

En esta lección definiremos el concepto de flujo de un campo vectorial.
Imaginemos el siguiente campo vectorial, dado por una ecuación F(x). Supongamos además que el campo vectorial representa las velocidades en un fluido.

Imaginemos adicionalmente que colocamos una superficie orientada arbitrariamente y nos preguntamos por la cantidad de fluido que la atravesaría en un tiempo t.

Está claro que la cantidad depende de la orientación de la superficie; si la superficie está orientada de forma paralela al campo, ni una sola gota de fluido podría atravesarla. En cambio, si la orientación es perpendicular al flujo, éste será máximo:

	Flujo cero
	Nivel de flujo intermedio
	Nivel de flujo máximo por unidad de tiempo

Sea S el área de una pequeña porción de S sobre la cual F es prácticamente constante. En tales circunstancias, la cantidad de flujo que atraviesa esa región por unidad de tiempo puede aproximarse por el volumen de la columna F A n.
 

Esto es:

)V = (altura) (área de la base) = (F A n)  )S

En consecuencia, el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo (lo que se conoce como el flujo de F a través de S) viene dado por la integral de superficie de la siguiente función:

Definición: La integral de superficie de un campo vectorial. Sea F un campo vectorial definido sobre S, la imagen de una superficie parametrizada S. La integral de superficie F sobre S es:

Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente normal de F. Si D(x, y, z) es la densidad del fluido en (x, y, z) la integral de flujo:

representa la masa del fluido que atraviesa S por unidad de tiempo.

Ejemplo1.-

Sea S la porción del paraboloide:

situada por encima del plano x y, orientada por un vector normal unitario dirigido hacia arriba (ver Figura 4) para -1 # u # 1 , -1 # v # 1.

El flujo de un fluido de densidad constante D a través de la superficie S viene descrito por el campo vectorial (ver Figura 5):

F (x, y, z) = (x , y, z)

Hallar el ritmo de flujo de masa a través de S (ver Figura 6).

Paraboloide orientado por un vector normal unitario dirigido hacia arriba.

 

Campo vectorial F (x, y, z) = (x , y, z)

El flujo de un fluido de densidad constante D a través de la superficie S descrito por el campo vectorial F

Solución:

Para empezar calculemos las coordenadas del vector normal a través de sus jacobianos:

 

 

 

 

por lo que las coordenadas del vector normal son:

 

…   n = (2u , 2v, 1)

Ahora expresemos en términos de u y v el campo vectorial:

F = (u, v, 4 - u² – v²)

Calculemos el producto escalar F A n, esto es:

F A  n = (u, v, 4 - u² – v²)A (2u , 2v, 1) = 2u² + 2v² + 4 - u² – v² = u² + v²+4

Calculemos

esto es:

 

 

 

 

Por lo que el ritmo de flujo de masa a través de S es aproximadamente:

34.209 D

 

Integrales de Linea de un Campo vectorial.

Integrales de línea de un campo vectorial

Consideremos un campo vectorial F, y sean P0 = (x0, y0, z0) y P1 = (x1, y1, z1) dos puntos fijos que determinan el inicio y el final de una curva C. Observe la Figura 1. La integral de línea de F desde P0 hasta P1 a lo largo de la curva C se escribe (y se define) como                siendo T el vector tangente unitario a la curva y ds  el elemento de longitud de arco de la curva. La interpretación de esta integral de línea, y que es su definición básica, es la misma que una integral ordinaria de la función escalar sobre el arco de longitud P0 hasta P1. No obstante, como insinuamos en la sección anterior, tenemos la igualdad donde la integral de la derecha es la definición de integral de línea que definimos en la sección anterior, esta vez sobre cada una de las componentes del campo vectorial F. La representación del trabajo efectuado por un fuerza como una integral de línea da una buena ilustración de su interpretación física.

 

En efecto, recordemos que el trabajo hecho por una fuerza F que logra un desplazamiento infinitesimal dr está dado por

de modo que el trabajo total realizado por la fuerza F moviéndose desde P0 hasta P1 a lo largo de la curva C es la suma de todas estas contribuciones infinitesimales.

Ahora daremos los pasos analíticos para evaluar una integral de línea de un campo vectorial definido sobre una curva C.

En primer lugar, debemos encontrar una ecuación paramétrica para la curva (no necesariamente definirla mediante el parámetro natural s, longitud de arco). Supongamos que tenemos una representación paramétrica r = r( t ), donde los valores t = t0 y t = t1 corresponden a los puntos P0 y P1. Entonces la primera integral puede escribirse como

donde la integral de la derecha es una integral ordinaria en una variable. El producto punto de la función que se integra puede desarrollarse de la siguiente manera. Sea el campo vectorial

F = F1( x, y, z ) i + F2( x, y, z ) j + F3( x, y, z ) k

y el vector r que describe la curva en su forma paramétrica

r( t ) = x( t ) i +  y( t ) j + z( t ) k

entonces

Reemplazando esta expresión en (2), nos queda

Y esta integral, por lo general (salvo que el profesor diga lo contrario), es una sencilla integral ordinaria de una sola variable. Sin embargo hay que tener cuidado con esta fórmula. El resultado no sólo dependerá de los puntos P0 y P1, sino que también dependerá, en general, del camino C que conecta ambos puntos.

Propiedades de la Curva Integral de un Campo Vectorial

Además el conjunto de curvas integrales de una región constituye una foliación  unidimensional de dicha región. Eso implica que dado un punto de esa región donde el campo no sea nulo, por ese punto pasa una y sólo una curva integral.

Esas propiedades de las curvas integrales, hacen posible visualizar un campo vectorial como dando lugar a un flujo en M, con cada punto moviéndose en la dirección vectorial dada por V, y en una tasa proporcional a su longitud. Si V tiene un cero en un punto Q, entonces Q será inmóvil (es decir la curva constante a Q será la curva integral).

Esto es un flujo 'estacionario' (independiente del tiempo); como un modelo de una ecuación diferencial ordinaria, éste es el más simple posible, y las representaciones del espacio de face se utilizan a menudo para construir tal campo vectorial auxiliar.

Desde un punto de vista matemático, puede haber problemas en extender una curva integral para tener como dominio el conjunto de la recta de los números reales. El flujo puede por ejemplo alcanzar el borde de M en un tiempo finito.

Los usos típicos son el flujo geodésico , y subgrupos uniparamedicos y función exponencial en grupos de LIE.

Ejemplo: Integrales de línea sobre el campo vectorial

Integral de línea

Integral de línea:

En matemática, una integral de línea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.